简述: 今天在做定积分习题的时候发现有一个位置不是很懂,于是我在网山搜索的时候发现了一篇有如神助的文章,特用自己的白话翻译翻译,记录一下。

本文初发于 “曾晨de小站” zengchen233.cn,同步转载于此。

积分上限函数

积分上限函数又称变上限积分,例如$\int_{a}^{x}f(t)dt$,其中上限为某一变量$x$,下限为某一常量$a$,假定$f(t)$的原函数为$F(t)$,则上述变上限积分就等于$F(x)-F(a)$,该积分显然是$x$的函数,其中$F(a)$为常数.现在对变上限积分求导就是对$F(x)-F(a)$求导,很明显等于$f(x)$。

更一般的情形,如果积分上限为$x$的某一函数$g(x)$,则变上限积分就等于$F[g(x)]-F(a)$,对其求导就得到$f[g(x)]g’(x)$。

$$\phi (x)=\int_{a}^{x}f(x)dx=\int_{a}^{x}f(t)dt$$

注意:

这是一个函数,自变量是积分上限的那个$x$,与积分变量选取的是$x$或者是$t$或者是其他的字母没有半毛钱的关系,比如:

$$\phi (x)=\int_{0}^{x}t^{2}dt=\frac{t^{3}}{3}|_{0}^{x}=\frac{x^{3}}{3}$$

积分上限函数的几何意义

定积分的几何意义是计算曲边梯形的面积,而积分上限函数表示的是右边线可以在$[a,b]$上变动的曲边梯形的面积函数。

image-20220303203945542

积分上限函数求导

$$\phi (x)=[\int_{a}^{x}f(t)dt]’=f(x)$$

例如:

$$[\int_{0}^{x}t^{2}dt]’=(\frac{x^{3}}{3})’=x^2$$

如果积分上限函数是复合函数形式则:

$$\phi (\varphi (x))=[\int_{a}^{\varphi (x)}f(t)dt]’=f(\varphi (x))\varphi ‘(x)$$

例如:

$$(\int_{0}^{x^2}t^2dt)’=(\frac{x^6}{3})’=2x^5=(x^2)^2\cdot (x^2)’$$

求下列函数的导数

① $\int_{0}^{x}e^{-t^2}dt$

解:

$$(\int_{0}^{x}e^{-t^2}dt)’=e^{-x^2}$$

② $\int_{0}^{\sqrt{x}}\sin t^2dt$

解:

$$(\int_{0}^{\sqrt{x}}\sin t^2dt)’=\sin (\sqrt{x})^2\cdot (\sqrt{x})’=\frac{\sin x}{2\sqrt{x}}$$

③ $\int_{x^{2}}^{e^{x}} \ln x d x$.

解:

$$ \left(\int_{x^{2}}^{e^{x}} \ln x d x\right)^{\prime}$$

$$=\left(\int_{x^{2}}^{0} \ln x d x+\int_{0}^{e^{x}} \ln x d x\right)^{\prime}$$

$$=\left(-\int_{0}^{x^{2}} \ln x d x+\int_{0}^{e^{x}} \ln x d x\right)^{\prime}$$

$$=-\ln x^{2} \cdot\left(x^{2}\right)^{\prime}+\ln e^{x} \cdot\left(e^{x}\right)^{\prime}$$

$$=-2 x \ln x^{2}+x e^{x} $$

文章写到这里就算完结了,等到下次在有不懂的位置在更新吧,谢谢大家观看到这里!👍👍👍